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长期存在的“黄金比例”和其他无理数问题用“

 


黄金比例是最著名的无理数之一;它是无限的,没有无限的空间就不能准确地表达。
 
大多数人很少处理无理数——嗯,杏耀注册无理数就是无理数,因为无理数会一直持续下去,准确地表示无理数需要无限的空间。但非理性常数π和√等两个数字不能被降低到一个简单的fraction-frequently作物科学与工程。自古希腊以来,这些庞大的数字一直困扰着数学家;事实上,传说希帕萨斯因为暗示存在非理性而被淹死。然而,现在,一个80岁出头的难题已经被解决了,那就是如何很好地近似它们。
 
许多人概念化无理数的舍入分数和小数:估计π为3.14,相当于157/50,导致广泛庆祝π3月14日。然而不同的近似,22/7,更容易接近π争吵不休。这就引出了一个问题:这些近似的简单和准确程度是否存在极限?我们可以选择任意形式的分数吗?
 
1941年,物理学家理查德·达菲(Richard Duffin)和数学家阿尔伯特·谢弗(Albert Schaeffer)提出了一个简单的规则来回答这些问题。考虑求各种无理数的近似值。首先,决定一个特定分母的分数的近似应该有多接近。(记住,“分子”指的是分数的顶部,“分母”指的是分数的底部。在这里,所有的分数都被完全简化了——例如,2/4不能算作分母为4,因为它被简化为1/2。您可能会认为,n/2形式的简化分数可以近似任何无理数,其真实值落在无理数的1/10以内——使近似的“误差”为1/10。看起来像n/10的分数在数轴上比分母为2的分数更接近,所以在这种情况下,你可以把误差限制在1/100——这些分数可以近似它们的1/100以内的任何数。
 
通常,较大的分母与较小的误差相关。如果这是真的,并且有无穷多个分母可以用来在相应的误差范围内近似一个数字,那么通过增加分母,近似就会变得越来越好。Duffin和Schaeffer 's rule根据错误的大小来度量什么时候可以这样做。
 
如果选择的误差总体上足够小,那么随机选择的无理数x只有有限的好近似值:它可能会落入具有特定分母的近似值之间的间隙。但是,如果误差足够大,就会有无穷多个分母产生一个很好的近似分数。在这种情况下,如果误差也随着分母的增大而减小,那么您可以选择一个尽可能精确的近似值。
 
未经证实的
 
结果是,要么你可以任意地近似每个数,要么一个也不近似。蒙特利尔大学的数学家Dimitris Koukoulopoulos说:“这是一个惊人的二分法。”此外,您可以选择任何您想要的错误,只要它们在总体上足够大,大多数数字都可以用无穷多种方式近似。这意味着,通过选择一些错误为零,您可以将近似限制为特定类型的小数—例如,那些分母只有10次方的小数。
 
虽然小的误差使近似数字变得更加困难,这似乎是合乎逻辑的,但达夫和谢弗无法证明他们的猜想——其他人也一样。奥地利格拉茨理工大学的数学家Christoph Aistleitner研究了这个问题,他说,这个证明仍然是数论中“一个具有里程碑意义的开放性问题”。直到今年夏天,Koukoulopoulos和他的合著者James Maynard在预印服务器arXiv.org上公布了他们的解决方案。
 
牛津大学教授梅纳德说,达菲-谢弗猜想“在通常异常困难和复杂的数学领域具有神奇的简单性”。他无意中遇到了这个问题——他是一个数字理论家, 杏耀平台 ,但与大多数达夫-谢弗专家所处的领域不同。(他通常研究质数——那些只能被自身和1整除的数。)约克大学的一位教授建议梅纳德在那里发表演讲后,解决达夫-谢弗猜想。梅纳德说:“我认为,他有一种直觉,认为让一个人稍稍脱离那个领域可能是有益的。”事实证明,这种直觉是正确的,尽管要过几年才会有结果。在第一次谈话后很久,梅纳德就怀疑他的同事有相关的专业知识,建议与库库洛普洛斯合作。
梅纳德和库库罗普洛斯知道,之前在这一领域的工作已经把这个问题归结为分母的质因数的问题——质数相乘就得到分母。梅纳德建议把这个问题看成是数字上的阴影:“想象一下,在数轴上,把分母为100的分数附近的所有数字都涂上颜色。Duffin-Schaeffer猜想说,如果误差足够大,并且对每一个可能的分母都这样做,那么几乎每一个数字都会被着色无数次。
 
对于任何特定的分母,只对数轴的一部分着色。如果数学家们能够证明,对于每一个分母,足够不同的区域都被涂上了颜色,他们就能确保几乎每一个数字都被涂上了颜色。如果他们也能证明这些部分是重叠的,他们就能得出这样的结论:这种情况发生过很多次。捕捉不同但有重叠区域这一概念的一种方法是证明由不同分母着色的区域彼此无关——它们是独立的。
 
但这并不是真的,尤其是当两个分母有很多质因数时。例如,可能的分母10和100共享因子2和5——可以用n/10的分数近似的数与可以用n/100的分数近似的数有令人沮丧的重叠。
 
图形的问题
 
梅纳德和库库罗普洛斯用数学家们称之为图形的网络重新构造了这个问题,解决了这个难题——一堆点,其中一些点由线(称为边)连接起来。图中的点代表了研究人员想要用来近似分数的可能的分母,如果两个点有许多共同的质因数,它们就用一条边连接起来。在允许的分母具有不需要的依赖关系的情况下,图中有许多精确的边。
 
使用图表使两位数学家能以一种新的方式把问题形象化。梅纳德表示:“你所需要的最大洞见之一,就是忘掉问题中所有不重要的部分,只专注于让问题变得非常特殊的一两个因素。”使用图表,他说,“不仅让你证明结果,而且它真的告诉你一些关于问题的结构。梅纳德和库库罗普洛斯推断,杏耀手机客户端具有多条边的图形对应于一种特殊的、高度结构化的数学情况,他们可以分别分析这种情况。
 
这对搭档的解决方案让该领域的许多人感到惊讶。Aistleitner说:“一般的感觉是,这个问题还没有接近解决。”得克萨斯大学奥斯汀分校退休教授杰弗里•瓦勒表示:“使用(图表)的技术,或许在未来将被视为与实际的达夫-谢弗猜想同等重要——甚至可能比后者更重要。”瓦勒在1978年证明了该猜想的一个特例。
 
其他专家可能需要几个月的时间才能了解全部细节。“现在的证明是一个漫长而复杂的证明,”Aistleitner说。仅仅有一个引人注目的、聪明的想法是不够的。有很多很多部分需要控制。在44页的密集的技术性数学中,即使是顶尖的数学头脑也需要时间来思考。然而,社区似乎很乐观。瓦勒说:“这是一份漂亮的报纸。我认为这是正确的。”
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