整数是一个唯一的因数分解域，所以我们不能调优钢琴。这是我所知道的关于整数的最悲哀的事情。
这个月早些时候，我和一个女童子军谈论了数学，我们的话题之一是数学和音乐的交叉。我选择专注于我们感知声波频率比值作为间隔的方式。我们把2:1的频率解释为八度。(更大的频率听起来更高。)我们把比率为3:2的频率解释为完美五分之一。不幸的是，我不得不告诉女孩们这两个事实意味着没有钢琴在调音。换句话说，你可以吃金枪鱼，但你不能给钢琴调音。
当我们为一种乐器调音时，我们希望我们所有的八度和五度是完美的。一种乐器的调音方法是从音高开始，然后开始计算它上面和下面的五度音阶。我们从一个叫做C的频率开始，然后3/2乘以那个频率是G, 9/4乘以那个频率是D(一个八度，比原来的C高一级)，依此类推。如果你了解了“第五圈”在你的音乐生活,然后你知道,如果我们继续增加第五,我们最终会回到我们想叫C需要共有12个步骤,因此,如果我们把所有第五完美,C我们得到最后的频率是312/212,还是531441/4096,乘以C的频率开始。你可能会注意到531441/4096不是一个整数，更不用说2的幂了，所以我们的耳朵不会认为末尾的C和开头的C是一致的。(531441/4096大约是130，比2的乘方大2，所以我们会听到顶部的C很尖)假设从C到闪亮的C需要12 / 5，这并不是问题，我们永远不能从一堆五度音阶中得到完美的八度音阶，因为没有3/2的幂可以得到2的幂。
不完美的八度音阶对任何听者来说都是不可接受的，而作为一名弦乐演奏者，我非常喜欢完美的五度音阶。所以我很失望不能同时拥有它们。但是当我们加上三分之一的时候，情况就更复杂了。即使我们能解决烦人的五度音阶问题，我们也会被一些听起来很奇怪的和弦难住。当我们听到的频率是5:4的时候，我们听到的是一个完美的大调三分之一(C和E之间的音程)，但是如果我们绕着5分之1的圆转一圈，得到不妥协的完美五分之一，我们得到34/24=81/16。如果我们除以2几次使E降回到与C相同的八度，我们得到的比例是81:64，比5:4(或80:64)大一点，这意味着C到E的大调三分之一听起来太宽了。所以五分之一和三分之一也是不兼容的!再一次，我们不能从五度音高的音高中得到完美的三度音高，或者从三度音高的音高中得到完美的五度音高，因为没有5/4的幂等于3/2的幂。
怪独特的分解。我们认为是理所当然的整数的一个特性是我们可以把除-1 0或1之外的任何整数分解成它的素数因子，并且分解是唯一的。(我们称之为算术基本定理。)因此，我们可以把整数称为唯一的因式分解域。(如果你是一个真正坚持的人，你可能会担心负整数。因数分解在数字符号之前是唯一的，这足以成为一个唯一的因数分解域。如果这仍然困扰你，就忽略小于2的整数。作为一个思想实验，我决定看看我们是否可以解决这个问题，从整数展开到另一组数字，就像整数一样，因为它们也可以相乘或相加。
一组这样的数字叫做高斯整数，它由a+bi形式的复数组成，其中a和b都是整数，i2=-1。在高斯整数,2不再是一个质数,因为它可以被分解为(1 + i)×(我),这恰好是质数。都是5,可以写(1 + 2)×(1-2i)。但是3在高斯整数中仍然是质数(这并不明显，但它是正确的)。因此，2和3在高斯整数上仍然没有质数因子，所以我们不能解决八度/五度的问题。(我甚至不知道用高斯整数除以一个频率是什么意思。就像我说的，这是一个思维实验。同样，5和2不共享高斯质数因子，5和3也不共享。所以即使频率除以复数是有意义的，它也没有用。
甚至陌生人组数字的复数形式的a +√5 bi,或Z(√5]。这看起来和高斯整数没什么区别，但它确实是。它不是唯一的因式分解域。例如,6号都可以分解为2×3或(1 +√5 i)×(1 -√5我)。*不明显，但2和3不能进一步分解;他们是不可约,(1 +√5 i)和(1 -√5我)。6有两个明显的因子分解。这对我们有帮助吗?如果我们把五度和八度合起来，我们的频率比就会变成6的幂。假设我们能的力量6除以(1 +√5我和1 -√5。我们会在哪里?我们已经把6的幂减了1，但是我们离3变成2还差得远。游手好闲的人!但至少我们要处理一些二次整数，对吧?
你可能已经注意到，钢琴音乐并不总是听起来走调，所以一定有解决质数困境的办法。妥协,我的朋友。目前，大多数乐器都使用相同的音律，这使得所有的五度音阶都比完美的略窄，这样八度音阶就会协调一致。每个半步的频率比和其他半步的频率比相同，这个比例是21/12:1。我们已经失去了使毕达哥拉斯音程听起来如此悦耳的纯粹的理性比例，但我们已经获得了很多。毕达哥拉斯五度音程与性情相同的五度音程之间的区别，除了最挑剔的听众之外，不足以烦扰任何人，但对一些人来说是可以察觉到的。在平均律成为法律之前，至少对于键盘乐器和其他乐器来说，演奏者不能对音高进行细微的调整，在使用中还存在其他几种折衷律。
一种解决方法是调整乐器的八度、五度和/或三度音，使其对某些键(通常是C、G和D等“简单”键)的重要和弦完美或非常接近，但对其他键来说却很糟糕。这些系统(通常意味着一种性格)最终得到的“狼五度”比完美五度要窄得多。如果乐器上有“狼五分之一”的音，那么它就不能在特定的琴键上演奏。后来就出现了气质，这不是一种系统，而是许多不规则的气质中的任何一种，这些气质使琴键听起来不同，但可以说，并没有留下任何琴键对着月亮嚎叫。巴赫的《好脾气的键盘》中的“好脾气”并不是指乐器优美的音调(或乐器演奏者的平静)，而是指这一组作品是为一个键盘乐器而创作的，它的气质让乐器能够在每个键上演奏。(《好脾气的键盘》由24首前奏曲和赋格曲组成，每个大调和小调各有一首。学者们不知道键盘的音律究竟是什么，但也不太可能像一些音乐家认为的那样，是相同的音律。
3/ 2,2和5/4是不可通约的，这让我很伤心，但本周晚些时候我希望和女童子军分享一个有趣的实验，我和我用音调感知做的。它不依赖于同时完美地调音五度、三度和八度，所以它不应该像气质那样引起存在的焦虑。
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