当你看着它的时候，它就会保持在那里，恒定不变。但如果你在康托尔集合中的一点上转过身去，函数就会不可思议地快速增长。
它不是一个哭泣的天使，它是魔鬼的楼梯，或者，如果你不那么异想天开的话，坎托函数。我第一次看到Cantor集合的辉煌之处在于定义了这个函数，它是分析或微积分中常见的反例，而不是拓扑。
康托尔函数。图片:全心全意地,维基。3.0 CC冲锋队
就像Cantor集合本身一样，有几种不同的方法来考虑Cantor函数。首先考虑迭代构建它，就像构建Cantor集合一样。最后，我们希望在整个区间[0,1]上定义函数。我们将从第一个区间开始当我们构造康托集合的时候我们去掉了这个区间并说这个函数取这个区间上1/2的值。所以f(x)=1/2如果x在1/3到2/3之间。接下来，我们将定义它在接下来的两个时间间隔中执行的操作。我们将把区间(1/9,2/9)发送到1/4，(7/9,8/9)发送到3/4。我们一直遵循这个模式:每隔一段时间，坎托集合就会被送到一个分母是2的分数。剩下的点只是“填补空白”。
如果你愿意从不同的角度考虑的话，还有另一种描述康托函数的巧妙方法。首先，以3为基底表示0到1之间的所有数字，就像描述Cantor集合一样。如果一个数字包含1，在第一个1处截断它，或者等价地，用0替换后面的所有数字。如果这个数字不包含1，暂时不要管它。不管怎样，下一步是用1s替换数字中的所有2s，并以2为底而不是以3为底来解释结果。例如，1/2是0。111。基地3。我们在第一个1处截断它得到0。1或0。100。然后以2为底。又得到1/2。
如果你还记得康托尔集合是一组数字，它们可以以3为底，不带1，这似乎是合理的，有1和没有1的数字应该被区别对待。当我们截断第一个1时，我们要确保函数对1/3到2/3之间的每个数取相同的值，这是我们迭代构建Cantor集合时要去掉的第一个区间。
当我们定义康托集合本身时，我们必须对以1结尾的有理数小心一点。令人惊讶的是，有了康托函数，我们就不必小心了!以1结尾的有理数可以被重写为以无限的2字符串结尾:1/3，或者0.1，等于0.02222，等等。如果这看起来很奇怪，请记住0.9999…=1。以3为基数的数字2就像以10为基数的数字9一样。
你可能会认为这种模糊性是一个问题，因为坎特函数在某一点的值取决于该点是否包含1。让我们看看1/3,或0.1或0.02222 ....如果我们把这个数看做0。1,Cantor函数的定义告诉我们函数值应该是0。1以2为底，或者1/2。如果我们认为数量是0.02222…,我们应该改变2的,0.01111 ....当我们解这个以2为底的数时，也得到1/2。这在一般情况下是可行的。所以我们可以用任意的方法写出Cantor集合的端点得到相同的数。
函数在任何地方都是连续的，这意味着它是在整个区间[0,1]上定义的，不会跳转。(我通常直观地描述连续性，如果你不用从纸上拿起笔就能画出一个函数的图形，那么这个函数就是连续的，但如果我们考虑迭代地构造这个函数，这种方法就不太管用了。)这种连续性并不太神奇。导数是有趣的，坎托函数是一个很好的反例。
在微积分中，一个函数在某一点是可微的，或者有导数的，如果你能在该点上画一条切线的话。如果你学过微积分，你可能还记得你的老师对微积分基本定理的美有些迷惑不解。(还是只有我这么想?)定理说，在一定条件下，求曲线下面积(积分)和求曲线斜率(微分)是“逆”运算。具体来说，微积分基本定理的一部分指出，对于“足够好”的函数，函数导数的积分告诉你函数在两个端点的值之间的差。
Cantor函数帮助我们理解“足够好”是什么意思。
在坎托集合之外的每一点，坎托函数都是平的，所以很容易在这一点画一条切线。这里的导数是0。正如我们上周看到的，不属于康托尔集合的点的集合加起来的长度是1，所以从技术意义上说，这个函数的导数几乎处处为0。“哭泣的天使类比,这意味着,如果我们发生在它在任何时候,它可能会站在完全静止,因为我们可能会选择一个点,并不在康托尔集。康托尔集的点,这是另一个故事。表现最好的坎特集点具有“无限”导数，即垂直切线。更病态的人甚至没有。(关于Cantor函数究竟有多不可微的更技术性讨论，请参阅Richard Darst 1993年的这篇论文(pdf)。)
在数学中，“几乎在任何地方”都适用于很多东西。如果一个函数在任何地方都是连续的并且几乎在任何地方都是可微的，那么这个函数的导数的积分就足以告诉我们关于这个函数的一些有意义的东西。但是康托函数告诉我们这些标准是不够的。几乎所有地方的导数都是0，所以导数的积分是0，但是起始值是0，结束值是1。趁我们不注意，它悄悄爬上了我们。
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